Question

已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率e＝，一条准线方程为x＝
(1)求椭圆C的方程；
(2)设G、H为椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH.
①当直线OG的倾斜角为60°时，求△GOH的面积；
②是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（2）①S_△GOH＝②x²＋y²＝

(1)因为＝，＝，a²＝b²＋c^2,
解得a＝3，b＝，所以椭圆方程为
(2)①由解得由　得
所以OG＝，OH＝，所以S_△GOH＝.
②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG·OH＝R·GH，
因为OG²＋OH²＝GH²，故，
当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为y＝kx,
由得所以OG²＝，
同理可得OH²＝，(将OG²中的k换成－可得)，R＝，
当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得，
故满足条件的定圆方程为：x²＋y²＝