Question

2．（理）已知a²+c²-ac-3=0，则c+2a的最大值是（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{6}$
• C． 2$\sqrt{7}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用判别式法进行解答：令t=c+2a，得c=t-2a．代入a²+c²-ac-3=0，整理得7a²-5ta+t²-3=0，利用根的判别式△=28-t²≥0来求t的最大值即可．

解答 解：设t=c+2a，则c=t-2a，
将其代入a²+c²-ac-3=0，得
a²+（t-2a）²-a（t-2a）-3=0，
整理得：7a²-5ta+t²-3=0，
这个关于a的一元二次方程中，由判别式△≥0得，
△=（-5t）²-4×7（t²-3）≥0，即28-t²≥0，
解得-2$\sqrt{7}$≤t≤2$\sqrt{7}$，
所以 t=c+2a的最大值是2$\sqrt{7}$．
故选C．

点评 本题考查了最值的求法，运用换元法借助于一元二次方程的根的判别式来求代数式的最值是解题的关键．