Question

2．已知f（x）=x³+3ax²+bx+a²（a＞1）在x=-1时有极值0．
（1）求常数a，b的值； 
（2）求f（x）的单调区间．  
（3）求f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）已知函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=1处有极值0，即f（-1）=0，f′（-1）=0，通过求导函数，再代入列方程组，即可解得a、b的值；
（2）分别解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可得函数f（x）的单调增区间与单调递减区间．
（3）利用（1）（2）的结果直接求解函数的极值即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²+6ax+b，（a＞1）函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1处有极值0，
∴f（-1）=0，f′（-1）=0
∴-1+3a-b+a²=0，3-6a+b=0．
解得a=2，b=9．
（2）f（x）=x³+6x²+9x+4，
∴f′（x）=3x²+12x+9
∴由f′（x）=3x²+12x+9＞0得x∈（-∞，-3）或（-1，+∞）
由f′（x）=3x²+12x+9＜0得x∈（-3，-1）
∴函数f（x）的单调增区间为：（-∞，-3），（-1，+∞），减区间为：（-3，-1）．
（3）由（2）可知f（x）的极小值：f（-1）=0，
极大值为：f（-3）=-27+54-27+4=4．

点评 本题考查导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，属于中档题．