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把一个周长为18cm的长方形围成一个圆柱.
(1)求圆柱的体积V(x)关于圆柱底面周长x的函数,并指出定义域;
(2)当圆柱的体积V(x)最大时,求圆柱的底面周长与高的比值.
考点:基本不等式
专题:导数的综合应用
分析:(1)根据圆的周长表示出半径,再根据圆柱的体积公式,求出体积即可,根据函数的实际意义求出定义域,
(2)利用导数求出圆柱的体积的最大值时x的值,即可求出圆柱的底面周长与高的比值.
解答: 解:(1)因为圆柱底面周长x为长方形一条边长,
所以圆柱的高是另一边长为(
18
2
-x)=(9-x),
因为设圆柱的底面半径为r,
则2πr=x,
解得r=
x

所以V(x)=π(
x
)2
•(9-x)=
1
(9x2-x3),定义域为(0,9),
(2)V′(x)=
1
(18x-3x2),
令V′(x)=0,解得x=6,
当V′(x)>0,即0<x<6时,函数递增,
当V′(x)<0,即6<x<9时,函数递减,
故当x=6时,函数V(x)有最大值,
此时圆柱的高为9-6=3,
故圆柱的底面周长与高的比值为
6
3
=2.
点评:本题考查了导数的再几何中的应用,关键是利用导数求出函数最值,属于中档题
练习册系列答案
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已知f(x)=log
1
3
(3x-x2)的单调递增区间是
 

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n
2
π+
π
4
)(n∈N*),求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2015)=
 

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3
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π
6
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(2)将(1)中所得函数y=f(x)的图象结果怎样的变换可得y=
1
2
sin
1
2
x的图象.

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B、[1,+∞)
C、(-∞,1)
D、(-∞,1]

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A、y=
1-2x
1+2x
B、y=-tanx
C、y=
1
x
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