Question

（2013•惠州模拟）如图，A，B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0））的两个顶点．|AB|=

5

，直线AB的斜率为-

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l平行于AB，与x，y轴分别交于点M，N，与椭圆相交于C，D．证明：△OCM的面积等于△0DN的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用|AB|=

5

，直线AB的斜率为-

1

2

，建立方程组，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及三角形的面积公式，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：依题意，得

b a = 1 2 a2+b2 = 5

                             …（2分）
解得a=2，b=1．                                        …（3分）
所以椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．                             …（4分）
（Ⅱ）证明：由于l∥AB，设直线l的方程为y=-

1

2

x+m，将其代入

x2

4

+y2=1，消去y，
整理得2x²-4mx+4m²-4=0．                                   …（6分）
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
所以x₁+x₂=2m，x₁x₂=2m²-2 …（8分）
记△OCM的面积是S₁，△ODN的面积是S₂．
由题意M（2m，0），N（0，m），
因为x₁+x₂=2m，
所以|2y1|=|2×(-

1

2

x1+m)|=|-x₁+2m|=|x₂|，…（13分）
∵S1=

1

2

×|2m|×|y1|，S2=

1

2

×|m|×|x2|．    
∴S₁=S₂                                         …（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．