Question

8．如图，O为坐标原点，A和B分别是椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（ a＞b＞0）和C₂：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0）上的动点，满足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，且椭圆C₂的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．当动点A在x轴上的投影恰为C的右焦点F时，有S_△AOF=$\frac{\sqrt{2}}{4}$
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若C₁与C₂共焦点，且C₁的长轴与C₂的短轴等长，求|$\overrightarrow{AB}$|²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，结合隐含条件可得关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b，c的值，则椭圆C₁方程可求；
（2）由C₁与C₂共焦点，且C₁的长轴与C₂的短轴等长求得椭圆C₂方程，当OA所在直线斜率存在且不为0时，写出OA、OB所在直线方程，分别与两椭圆联立，求出|OA|²、|OB|²，得到|AB|²，整理后利用基本不等式求得|$\overrightarrow{AB}$|²的取值范围，当线段OA的斜率不存在和斜率k=0时，|AB|²=4，由此求得答案．

解答 解：（1）设椭圆C₁的半焦距为c，由题意可知，$\frac{1}{2}c•\frac{{b}^{2}}{a}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
又椭圆C₁的离心率$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且a²=b²+c²，联立以上三式可得：
$a=\sqrt{2}，b=1，c=1$，
∴椭圆C₁的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由C₁的长轴与C₂的短轴等长，知n=a=$\sqrt{2}$，又C₁与C₂共焦点，
可知$m=\sqrt{{n}^{2}+1}=\sqrt{3}$，
∴椭圆C₂的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
当线段OA的斜率存在且不为0时，设OA：y=kx，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，解得${x}^{2}=\frac{2}{1+2{k}^{2}}，{y}^{2}=\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴$|OA{|}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}=1+\frac{1}{1+2{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，得OB：y=-$\frac{1}{k}x$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$，解得${x}^{2}=\frac{6{k}^{2}}{3+2{k}^{2}}，{y}^{2}=\frac{6}{3+2{k}^{2}}$，
∴|OB|²=${x}^{2}+{y}^{2}=3-\frac{3}{3+2{k}^{2}}$，
∴|AB|²=|OA|²+|OB|²=$4+\frac{1}{1+2{k}^{2}}-\frac{3}{3+2{k}^{2}}=4-\frac{4{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）（3+2{k}^{2}）}$
=$4-\frac{4}{8+\frac{3}{{k}^{2}}+4{k}^{2}}＜4$．
又$\frac{3}{{k}^{2}}+4{k}^{2}≥2\sqrt{\frac{3}{{k}^{2}}•4{k}^{2}}=4\sqrt{3}$（当${k}^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$时取等号），
∴$|AB{|}^{2}≥4-\frac{4}{8+4\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$．
当线段OA的斜率不存在和斜率k=0时，|AB|²=4，
综上，$2+\sqrt{3}≤|AB{|}^{2}≤4$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查了计算能力，是中档题．