【题目】函数是实数集上的奇函数, 当时, .
(1)求的值;
(2)求函数的表达式;
(3)求证:方程在区间(0,+∞)上有唯一解.
【答案】(1)2(2)f(x)=(3)见解析
【解析】
试题
(1)由题函数 是实数集 上的奇函数.所以 .则易求
(2)由题函数 是当上的奇函数 ;
又当 时, ,所以 所以-f(x)=log2(-x)-x-3,从而f(x)=-log2(-x)+x+3.
所以
(3)因为 ,所以方程 在区间 上有解
又方程 可化为 设函数 以下证明方程 在区间上只有一个解即可.
试题解析(1)函数f(x)是实数集R上的奇函数.
所以f(-1)=-f(1).
因为当x>0时,f(x)=log2x+x-3,所以f(1)=log21+1-3=-2.
所以f(-1)=-f(1)=2.
(2)当x=0时,f(0)=f(-0)=-f(0),解得f(0)=0; >
当x<0时,-x>0,所以f(-x)=log2(-x)+(-x)-3=log2(-x)-x-3.
所以-f(x)=log2(-x)-x-3,从而f(x)=-log2(-x)+x+3.
所以f(x)=
(3)因为f(2)=log22+2-3=0,所以
方程f(x)=0在区间(0,+∞)上有解x=2.
又方程f(x)=0可化为log2x=3-x.
设函数g(x)=log2x,h(x)=3-x.
由于g(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数
h(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数,
所以,方程g(x)=h(x) 在区间(0,+∞)上只有一个解.
所以,方程f(x)=0在区间(0,+∞)上有唯一解.
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【题目】已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点P.
(1)若直线l平行于直线l1:4x-y+1=0,求l的方程;
(2)若直线l垂直于直线l1:4x-y+1=0,求l的方程.
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【题目】科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线,一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到,任画一条线段,然后把它均分成三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并把中间一段去掉,这样,原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线,称为“一次构造”;用同样的方法把每条小线段重复上述步骤,得到16条更小的线段构成的折线,称为“二次构造”,…,如此进行“次构造”,就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍,则至少需要通过构造的次数是( ).(取,)
A.16B.17C.24D.25
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【题目】半期考试后,班长小王统计了50名同学的数学成绩,绘制频率分布直方图如图所示.
根据频率分布直方图,估计这50名同学的数学平均成绩;
用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名,再在抽取的这6名同学中任选2名,求这两名同学数学成绩均在中的概率.
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【题目】
某学校高一数学兴趣小组对学生每周平均体育锻炼小时数与体育成绩优秀(体育成绩满分100分,不低于85分称优秀)人数之间的关系进行分析研究,他们从本校初二,初三,高一,高二,高三年级各随机抽取了40名学生,记录并整理了这些学生周平均体育锻炼小时数与体育成绩优秀人数,得到如下数据表:
初二 | 初三 | 高一 | 高二 | 高三 | |
周平均体育锻炼小时数工(单位:小时) | 14 | 11 | 13 | 12 | 9 |
体育成绩优秀人数y(单位:人) | 35 | 26 | 32 | 26 | 19 |
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.
(1)若选取的是初三,高一,高二的3组数据,请根据这3组数据,求出y关于x的线性回归方程;
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过1,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(1)中所得到的线性回归方程是否可靠?
参考数据:,.
参考公式:,.
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【题目】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若,则奖励玩具一个;
②若,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(Ⅰ)求小亮获得玩具的概率;
(Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
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【题目】我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题:“今有玉方一寸,重七两;石方一寸,重六两.今有石方三寸,中有玉,并重十一斤(176两)问玉、石重各几何?”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法,运行该程序框图,则输出的,分别为( )
A.98,78B.96,80C.94,74D.92,72
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【题目】已知函数 .
(1)若函数在上是增函数,求正数的取值范围;
(2)当时,设函数的图象与x轴的交点为,,曲线在,两点处的切线斜率分别为,,求证:+ .
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【题目】军训时,甲、乙两名同学进行射击比赛,共比赛10场,每场比赛各射击四次,且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩.数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图,并给出下列4个结论:(1)甲的平均成绩比乙的平均成绩高;(2)甲的成绩的极差是29;(3)乙的成绩的众数是21;(4)乙的成绩的中位数是18.则这4个结论中,正确结论的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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