Question

已知函数f（x）=

3

sin(

π

3

x-

π

6

) +2sin2 (

π

6

x-

π

12

)（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）计算f（1）+f（2）+…+f（2008）．

Answer 1

分析：根据题意可得 f（x）=2sin（

π

3

x-

π

3

）+1．（1）根据周期的有关公式可得答案．（2）由题可得：f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=6，进而结合函数的周期得到答案．

解答：解：由题意可得：函数f（x）=

3

sin(

π

3

x-

π

6

) +2sin2 (

π

6

x-

π

12

)，
所以结合二倍角公式可得：
f（x）=

3

sin(

π

3

x-

π

6

) - cos(

π

3

x-

π

6

) +1
=2sin（

π

3

x-

π

3

）+1 
（1）根据周期的计算公式可得：T=6，
所以函数f（x）的最小正周期为6．
（2）由题意可得：f（1）=1，f（2）=

3

+1，f（3）=

3

+1，f（4）=1，f（5）=-

3

+1，f（6）=-

3

+1，
所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=6．
因为函数f（x）的最小正周期为6，
所以f（1）+f（2）+…+f（2008）=334×6+4+2

3

=2008+2

3

．

点评：本题主要考查三角函数的有关性质，以及两角差的正弦公式与二倍角公式．