Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-lnx．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若g(x)=-

2

3

x3+x2，证明当x＞1时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的上方．

Answer 1

分析：（I）求出函数的定义域，求出导函数，求出导函数的根，列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，求出单调区间．
（II）构造新函数h（x）=f（x）-g（x），求出h（x）的导函数，判断出h′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，判断出h（x）递增，求出h（x）的最小值，判断出最小值大于0，判断出h（x）＞0，判断出f（x）＞g（x），得证．

解答：解：（I）∵f(x)=

1

2

x2-lnx的定义域为(0，+∞)，
又f(x)可得：f′(x)=x-

1

x

=

x2-1

x

令f'（x）=0，则x=1
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值	递增

故f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）
（II）令h(x)=f(x)-g(x)=

2

3

x3-

1

2

x2-lnx
则h′(x)=2x2-x-

1

x

=

2x3-x2-1

x

=

(x-1)(2x2+x+1)

x

∵x＞1
∴h'（x）＞0
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增

又h(1)= 1 6 ＞0 ∴f(x)＞g(x)

当x＞1时，f（x）的图象恒在g（x）图象的上方．

点评：求函数的单调区间注意要先求出函数的定义域，单调区间是定义域的子集；证明不等式常转化为求函数的最值．