Question

（2013•莱芜二模）已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA1=

3

，点D为AC的中点，点E在线段AA₁上
（I）当AE：EA₁=1：2时，求证DE⊥BC₁；
（Ⅱ）是否存在点E，使二面角D-BE-A等于60°若存在求AE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由D为正三角形ABC的中点，得到BD⊥AC，再由两面垂直的性质得到BD⊥面ACC₁A₁，继而BD⊥DE，在平面ACC₁A₁中利用解三角形求出∠ADE与∠CDC₁的值，从而得到ED⊥DC₁，则由ED⊥面BDC₁，则DE⊥BC₁；
（Ⅱ）假设存在点E，使二面角D-BE-A等于60°，设出AE的长度，利用二面角的两个半平面的法向量所成角为60°求出h的值，若h的值在[0，

3

]内则说明点E存在，否则不存在．

解答：解：（Ⅰ）证明：如图，

连结DC₁，因为ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，所以△ABC为正三角形，
又因为D为AC的中点，所以BD⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，所以BD⊥平面ACC₁A₁，所以BD⊥DE．
因为AE：EA₁=1：2，AB=1，AA1=

3

，所以AE=

3

3

，AD=1，
所以在Rt△ADE中，∠ADE=30°，在Rt△DCC₁中，∠C1DC=60°，
所以∠EDC1=90°，即ED⊥DC₁，
所以ED⊥平面BDC₁，又BC₁?面BDC₁，所以ED⊥BC₁．
（Ⅱ）解：存在点E，使二面角D-BE-A等于60°．
事实上，假设存在点E满足条件，设AE=h．
取A₁C₁的中点D₁，连结DD₁，则DD_1⊥平面ABC，所以DD₁⊥AD，DD₁⊥BD，
分别以DA、DB、DD₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则A（1，0，0），B（0，

3

，0），E（1，0，h），
所以

DB

=(0，

3

，0)，

DE

=(1，0，h)，

AB

=(-1，

3

，0)，

AE

=(0，0，h)．
设平面DBE的一个法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
则

n1 • DB =0 n1 • DE =0

，

3 y1=0 x1+hz1=0

，令z₁=1，得x₁=-h，所以

n1

=(-h，0，1)，
再设平面ABE的一个法向量为

n2

=(x2，y2，z2)，
则

n2 • AB =0 n2 • AE =0

，

-x2+ 3 y2=0 hz2=0

，令y₂=1，得x2=

3

，所以

n2

=(

3

，1，0)．
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

|- 3 h|

h2+1 •2

=cos60°=

1

2

．解得h=

2

2

＜

3

．
故存在点E，当AE=

2

2

时，二面角D-BE-A等于60°．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，训练了存在性问题的求解方法，对于存在性问题，在假设结论成立的前提下进行推理，得到与已知的条件，公理、定理等相符的式子，则假设成立，否则不成立．此题是中档题．