Question

8．已知函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+b}{{2}^{x+1}+a}$在实数集R上定义，a，b是方程${5}^{{x}^{2}-3x+1}=\frac{1}{5}$的实根，且a＞b．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）证明函数f（x）在R上是减函数；
（4）若对任意的实数t，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题可知x²-3x+1=-1，可求出a，b的值；
（2）判断f（-x）和f（x）的关系，得出函数的奇偶性；
（3）利用定义法任意取x₁，x₂，且＜，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，进而得出函数的单调性；
（4）利用函数的奇偶性和单调性整理不等式得3t²-2t＞k恒成立，只需求出左式的最小值即可．

解答 解：（1）a，b是方程${5}^{{x}^{2}-3x+1}=\frac{1}{5}$的实根，且a＞b，
∴x²-3x+1=-1，
∴a=2，b=-1；
（2）设任意的x，则
f（-x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{-x+1}+2}$=$\frac{-1+{2}^{x}}{2+{2}^{x+1}}$=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数；
（3）由（1）得f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$，
任意取x₁，x₂，且＜，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，
∴函数f（x）在R上是减函数；
（4）∵f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∴f（t²-2t）＜f（-2t²+k），
∴t²-2t＞-2t²+k，
∴3t²-2t＞k恒成立，
∴k＜$-\frac{1}{3}$．

点评 考查了用定义法判断函数的奇偶性和单调性，和这些性质的应用，属于经典试题，应熟练掌握，并学会归类．