Question

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（b-$\sqrt{2}c$）cosA+acosB=0．
（1）求角A，
（2）若a=$\sqrt{10}$，cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，D为AC的中点，求BD的长度．

Answer 1

分析 （1））△ABC中，由acosB=（$\sqrt{2}$c-b）cosA，利用正弦定理求得cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得A的值．
（2）△ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值，△ABD中，由余弦定理求得BD的值．

解答 解：（1）△ABC中，由acosB=（$\sqrt{2}$c-b）cosA，利用正弦定理可得sinAcosB=$\sqrt{2}$sinCcosA-sinBcosA，
化简可得 sin（A+B）=$\sqrt{2}$sinCcosA，即 sinC=$\sqrt{2}$sinCcosA，求得cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{4}$．
（2）由cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可得sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，再由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即$\frac{\sqrt{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$，求得b=AC=2．
△ABC中，由余弦定理可得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠A，即10=AB²+4-2AB•2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得AB=3$\sqrt{2}$．
△ABD中，由余弦定理可得 BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos∠A=18+1-6$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=13，
∴BD=$\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基本知识的考查．