如图1,,,过动点A作,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿将△折起,使(如图2所示).
(1)当的长为多少时,三棱锥的体积最大;
(2)当三棱锥的体积最大时,设点,分别为棱,的中点,试在棱上确定一点,使得,并求与平面所成角的大小.
(1)时,三棱锥的体积最大.(2)当时,.与平面所成角的大小.
解析试题分析:(1)设,则.又,所以.由此易将三棱锥的体积表示为的函数,通过求函数的最值的方法可求得它的最大值.
(2)沿将△折起后,两两互相垂直,故可以为原点,建立空间直角坐标系,利用空间向量即可找到点N的位置,并求得与平面所成角的大小.
试题解析:(1)解法1:在如图1所示的△中,设,则.
由,知,△为等腰直角三角形,所以.
由折起前知,折起后(如图2),,,且,
所以平面.又,所以.于是
,
当且仅当,即时,等号成立,
故当,即时,三棱锥的体积最大.
解法2:同解法1,得.
令,由,且,解得.
当时,;当时,.
所以当时,取得最大值.
故当时,三棱锥的体积最大.
(2)以为原点,建立如图a所示的空间直角坐标系.
由(1)知,当三棱锥的体积最大时,,.
于是可得,,,,,,
且.
设,则.因为等价于,即
,故,.
所以当(即是的靠近点的一个四等分点)时,.
设平面的一个法向量为,由
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在如图所示的多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,且AC=AD=CD=DE=2,AB=1.
(1)请在线段CE上找到点F的位置,使得恰有直线BF∥平面ACD,并证明这一结论;
(2)求多面体ABCDE的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N分别是AB,AC的中点,G是DF上的一动点.
(1)求该多面体的体积与表面积;
(2)求证:GN⊥AC;
(3)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP∥平面FMC,并给出证明.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6米铁丝.再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).
(1)当圆柱底面半径r取何值时,S取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).
(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼,请作出灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素).
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