【题目】已知二次函数对任意的都有,且.
(1)求函数的解析式;
(2)设函数.
①若存在实数,,使得在区间上为单调函数,且取值范围也为,求的取值范围;
②若函数的零点都是函数的零点,求的所有零点.
【答案】(1);(2)① ;②见详解.
【解析】
(1)先设二次函数的解析式为,根据题意列出系数对应的方程组,求解,即可得出结果;
(2)①由(1)可得:,对称轴,由函数在区间上单调,得到或,分别研究和两种情况,结合题中条件,以及二次函数性质,即可得出结果;
②先设为的零点,由题意得到,即,求出或,分别研究和两种情况,即可得出结果.
(1)设二次函数的解析式为,
则,
由得恒成立,又,
所以,所以,所以;
(2)①由(1)可得:,对称轴,在区间上单调,
所以或,
当时,在区间上单调增,所以,即为的两个根,所以只要有小于等于2两个不相等的实根即可,
所以要满足,得
当时,在区间上单调减,所以,即
两式相减得,因为,所以,
所以,,得;
综上,的取值范围为
②设为的零点,则,即,得或,
当时,
所以所有零点为;
当时,
由得,
所以所有零点为。
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【题目】已知椭圆:,其离心率为,以原点为圆心,椭圆的短轴长为直径的圆被直线截得的弦长等于.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆的左顶点,过点的直线与椭圆的另一个交点为,与轴相交于点,过原点与平行的直线与椭圆相交于两点,问是否存在常数,使恒成立?若存在,求出;若不存在,请说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆的普通方程为. 在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为 .
(Ⅰ) 写出圆 的参数方程和直线的直角坐标方程;
( Ⅱ ) 设直线 与轴和轴的交点分别为,为圆上的任意一点,求的取值范围.
【答案】(1);.
(2).
【解析】【试题分析】(I)利用圆心和半径,写出圆的参数方程,将圆的极坐标方程展开后化简得直角坐标方程.(II)求得两点的坐标, 设点,代入向量,利用三角函数的值域来求得取值范围.
【试题解析】
(Ⅰ)圆的参数方程为(为参数).
直线的直角坐标方程为.
(Ⅱ)由直线的方程可得点,点.
设点,则 .
.
由(Ⅰ)知,则 .
因为,所以.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】选修4-5:不等式选讲
已知函数, .
(Ⅰ)若对于任意, 都满足,求的值;
(Ⅱ)若存在,使得成立,求实数的取值范围.
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【题目】椭圆的离心率是,过点的动直线与椭圆相交于两点,当直线与轴平行时,直线被椭圆截得的线段长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)在轴上是否存在异于点的定点,使得直线变化时,总有?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包,被甲、乙、丙三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为
A. B. C. D.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.
(1)求的极坐标方程与的直角坐标方程;
(2)设点的极坐标为, 与相交于两点,求的面积.
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【题目】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数: ,其中是仪器的月产量.(注:总收益=总成本+利润)
(1)将利润表示为月产量的函数;
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?
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【题目】如下图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
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