Question

18．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，过点P（1，1）作一直线交椭圆于点A、B，若点P是AB的中点，求弦长|AB|=$\frac{5\sqrt{105}}{21}$．

Answer 1

分析 由点差法结合中点坐标公式和直线的斜率公式，可得直线AB的斜率，求出直线方程，联立直线和椭圆，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，由弦长公式得答案．

解答 解：由P（1，1）在椭圆内，直线AB与椭圆有两个交点．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}$=1，
则$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$=-$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{3}$，
即k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
由AB中点为P（1，1），即x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．
知AB的斜率为-$\frac{3}{4}$，且过P（1，1），
则直线AB的方程为y-1=-$\frac{3}{4}$（x-1），即为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{4}$，
代入椭圆方程，得21x²-42x+1=0．
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=$\frac{1}{21}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{9}{16}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=
$\frac{5}{4}$•$\sqrt{4-\frac{4}{21}}$=$\frac{5\sqrt{105}}{21}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{105}}{21}$．

点评 本题考查了点差法，涉及直线和圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系解题，属于中档题．