Question

设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．证明：ab+bc+ca≤

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．

Answer 1

分析：利用基本不等式可知∴a²+b²≥2ab，a²+c²≥2ac，b²+c²≥2bc，从而可得a²+b²+c²≥ab+ac+bc；再利用（a+b+c）²=1，即可证得结论．

解答：证明：∵a，b，c均为正数，
∴a²+b²≥2ab，
a²+c²≥2ac，
b²+c²≥2bc，
以上三式累加得：2（a²+b²+c²）≥2（ab+ac+bc），
∴a²+b²+c²≥ab+ac+bc；①
又a+b+c=1，
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+ac+bc）=1≥3（ab+bc+ca），
∴ab+bc+ca≤

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（当且仅当a=b=c=

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时取“=”）．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查基本不等式的应用，考查分析转化与推理证明能力，属于中档题．