Question

如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，为棱上一点，且平面平面.
（Ⅰ）求证：点为棱的中点；
（Ⅱ）判断四棱锥和的体积是否相等，并证明。

Answer 1

（1）点为棱的中点.             （2）相等．

本试题主要考查了立体几何中的体积问题的运用。第一问中，
易知，面。由此知：从而有又点是的中点，所以，所以点为棱的中点.
（2）中由A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD，D为BB₁中点，可以得证。
（1）过点作于点，取的中点，连。面面且相交于，面内的直线，面。……3分
又面面且相交于，且为等腰三角形，易知，面。由此知：，从而有共面，又易知面，故有从而有又点是的中点，所以，所以点为棱的中点.               …6分
（2）相等．ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴BB₁⊥A₁B₁，BB₁⊥BC，又A₁B₁⊥B₁C₁，BC⊥AB，
∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD（9分）∴V_A1-B1C1CD="1" /3 S_B1C1CD•A₁B₁="1/" 3 ×1 2 (B₁D+CC₁)×B₁C₁×A₁B₁VC-A₁ABD="1" /3 S_A1ABD•BC="1" /3 ×1 2 (BD+AA₁)×AB×BC∵D为BB₁中点，∴V_A1-B1C1CD=V_C-A1ABD