Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且Sn=2an﹣3n（n∈N+）．
（1）求a1 ， a2 ， a3的值；
（2）设bn=an+3，证明数列{bn}为等比数列，并求通项公式an ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣3n（n∈N+）．

∴n=1时，由a1=S1=2a1﹣3×1，解得a1=3，

n=2时，由S2=2a2﹣3×2，得a2=9，

n=3时，由S3=2a3﹣3×3，得a3=21．

（2）解：∵Sn=2an﹣3×n，∴Sn+1=2an+1﹣3×（n+1），

两式相减，得an+1=2an+3，*

把bn=an+3及bn+1=an+1+3，代入*式，

得bn+1=2bn，（n∈N*），且b1=6，

∴数列{bn}是以6为首项，2为公比的等比数列，

∴bn=6×2n﹣1，

∴ ．

【解析】（1）根据递推公式Sn=2an﹣3n，可求出所求值，（2）由Sn=2an﹣3×n，则Sn+1=2an+1﹣3×（n+1），两式相减得an+1=2an+3，将bn代入可得bn+1=2bn，数列{bn}是以6为首项，2为公比的等比数列bn=6×2n﹣1，a n = b n 3= 3 ( 2 n 1 ) ．
【考点精析】利用等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案，需要熟知通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．