Question

17．一个多面体如图所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，AB=FB，FB⊥平面ABCD，ED∥FB，且ED=1．
（1）求证：平面ACE⊥平面ACF．
（2）求多面体AED-BCF的体积．

Answer 1

分析 （1）证明OE⊥平面ACF，即可证明平面ACE⊥平面ACF．
（2）多面体ADE-BCF的体积V=${V_{E-ACD}}+{V_{F-ABC}}+V_{E-ACF}^{\;}$，分别求出体积，即可求多面体AED-BCF的体积．

解答 （1）证明：连接BD，AC与BD交于点O，连接OE，OF．
∵四边形ABCD是四边形ABCD是正方形，FB⊥平面ABCD，ED∥FB
∴DE⊥平面ABCD，AE=CE，OE⊥AC  ①
又∵DE=1，CD=2，
则OE=$\sqrt{3}$，OF=$\sqrt{6}$，EF=3
∴OE²+OF²=EF²，则OE⊥OF ②
由①，②得，OE⊥平面ACF，
∴平面ACF⊥ACE；
（2）解：由（1）可知，三棱锥E-ACD，三棱锥F-ABC的高分别是DE，BF．且AC⊥平面BDEF，
故多面体ADE-BCF的体积V=${V_{E-ACD}}+{V_{F-ABC}}+V_{E-ACF}^{\;}$
而${V_{E-ACD}}=\frac{2}{3}$，${V_{F-ABC}}=\frac{4}{3}$，$V_{E-ACF}^{\;}$=2
∴多面体ADE-BCF的体积V=4．

点评 本题考查了面面垂直的判定，考查了用分割法求多面体的体积，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．