Question

为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，当a、b各为（　　）米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）？

• A、a=2，b=9
• B、a=9，b=2
• C、a=3，b=6
• D、a=6，b=3

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：计算题,导数的综合应用

分析：先将实际问题转化成数学中的函数的最值问题，再利用导数进行求解．

解答： 解：经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y=

k

ab

（k＞0为比例系数），
要求y的最小值，只需求ab的最大值．
其中a、b满足2a+4b+2ab=60，b=

30-a

2+a

．
记u=ab=

(30-a)a

2+a

（0＜a＜30）．
由u'=

64-(a+2)2

(a+2)2

，令u'=0得a=6．
且当0＜a＜6时，u'＞0，当6＜a＜30时u'＜0，
∴u=

(30-a)a

2+a

在a=6时取最大值，此时b=3．
从而当且仅当a=6，b=3时，y=

k

ab

取最小值．
故选D．

点评：本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．