Question

若函数y=f（x）在区间[a，b]上是连续的、单调的函数，且满足f（a）•f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间[a，b]上有唯一的零点”．对于函数f（x）=-x³+x²+x+m，
（1）当m=0时，讨论函数f（x）=-x³+x²+x+m在定义域内的单调性并求出极值；
（2）若函数f（x）=-x³+x²+x+m有三个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）当m=0时，f（x）=-x³+x²+x．
∴f′（x）=-3x²+2x+1=．
列表如下：

由表可知：函数f（x）=-x³+x²+x在区间[-，1]上单调递增，在和（1，+∞）上单调递减．
∴f（x）的极小值为=-，
极大值为?（1）=1．
（2）由（1）知，当x=-时，
f（x）取得极小值，
当x=1时，f（x）取得极大值
f（1）=-1+1+1+m=m+1，
当，即-1＜m＜时，
f（-1）=1+1-1+m=m+1＞0，
=m-＜0，
f（1）=m+1＞0，f（2）=m-2＜0，
∴f（x）=-x³+x²+m在上有唯一零点．
在上有唯一零点，在（1，2]上有唯一零点．又f（x）=-x³+x²+x+m在（-∞，-1]上单调递减，
在[2，+∞]上单调递减，∴在（-∞，-1]上恒有?f（x）≥f（-1）＞0，在[2，+∞）上恒有f（x）≤f（2）＜0．
∴f（x）=-x³+x²+x+m-在（-∞，-1]和[2，+∞）上无零点．∴-1＜m＜时，函数f（x）=-x³+x²+x+m在有三个零点，
∴所求实数m的取值范围是．
分析：（1）直接求函数f（x）=-x³+x²+x的导函数，判断单调性求函数极值即可；
（2）三次函数有三个零点，也就是函数图象与x轴有三个交点，函数的极小值小于0，极大值大于0，即求函数的极值即可解决．
点评：本题考查函数的导数研究函数的单调性，函数零点的概念，以及函数的导数求函数的极值，属于中档题．