Question

（2012•宜宾一模）有一个半径为1的小球在一个内壁棱长均为4

3

的直三棱柱封闭容器内可以向各个方向自由运动，则该小球不可能接触到的容器内壁的面积是

72+18

3

．

Answer 1

分析：分别计算侧面与底面上小球不可能接触到的容器内壁的面积，即可得到结论．

解答：解：（1）侧面：当小球运动到同时接触到三棱柱容器的两面内壁时，小球与该两面内壁的接触点相距这两面内壁的棱必有一段距离，且这两接触点到棱的距离相等．从接触点到棱作垂线，再连接球心与垂足点、球心与接触点，这样构成一个直角三角形．
接触点到棱的距离：小球半径×tan60°=1×

3

=

3

该段距离上的内壁的面积是：距离×棱长=

3

×4

3

=12
两面内壁的面积是：12×2=24
直三棱柱有三条棱，总不可接触到的面积是：24×3=72 （cm²） 
 （2）底面：球与底面相切的面积只是一个边长为2

3

的正三角形，剩余的面积为9

3

×2=18

3

则该小球不可能接触到的容器内壁的面积是72+18

3

故答案为：72+18

3

点评：本题考查面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是分侧面与底面分别求解，属于中档题．