Question

20．已知函数$f（x）=\sqrt{（{{a^2}-1}）{x^2}-（{a-1}）x+1}$的定义域是全体实数，那么实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{5}{3}$]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 通过讨论a的范围，结合二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：若函数$f（x）=\sqrt{（{{a^2}-1}）{x^2}-（{a-1}）x+1}$的定义域是全体实数，
则a=1时，显然成立，a=-1时，f（x）=$\sqrt{2x+1}$，不成立，
若a²-1≠0，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＞0}\\{△{=（a-1）}^{2}-4{（a}^{2}-1）≤0}\end{array}\right.$，
解得：a≥1或a≤-$\frac{5}{3}$，
故答案为：（-∞，-$\frac{5}{3}$]∪[1，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道基础题．