Question

20．设圆C的圆心在x轴上，并且过A（-1，1），B（1，3）两点
（Ⅰ）求圆C的方程
（Ⅱ）设直线y=-x+m与圆C交于M，N两点，那么以MN为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线MN的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，设圆心坐标为C（a，0），半径为r，可得其标准方程为：（x-a）²+y²=r²，结合题意可得（x+1）²+1=r²①，（x-1）²+9=r²②，解可得a、r的值，代入标准方程即可得答案；
（Ⅱ）根据题意，设出M、N的坐标，联立直线与圆的方程，可得x₁+x₂=m+2，x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}-6}{2}$，可得MN中点H的坐标，进而假设以MN为直径的圆经过原点，则有|OH|=$\frac{1}{2}$|MN|，结合直线与圆的位置关系分析可得（$\frac{m+2}{2}$）²+（$\frac{m-2}{2}$）²=10-$\frac{（m-2）^{2}}{2}$，解可得m的值，检验可得其符合题意，将m的值代入直线方程，即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，设圆心坐标为C（a，0），半径为r，
则其标准方程为：（x-a）²+y²=r²，
由于点A（-1，1）和B（1，3）在圆C上，则有（x+1）²+1=r²①，
（x-1）²+9=r²②，
解可得a=2，r²=10，
故圆的标准方程为：（x-2）²+y²=10；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是直线y=-x+m与圆C的交点，
联立y=-x+m与（x-2）²+y²=10可得：2x²-（4+2m）x+m²-6=0，
则有x₁+x₂=m+2，x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}-6}{2}$，
则MN中点H的坐标为（$\frac{m+2}{2}$，$\frac{m-2}{2}$），
假设以MN为直径的圆经过原点，则有|OH|=$\frac{1}{2}$|MN|，
圆心C到MN的距离d=$\frac{|m-2|}{\sqrt{2}}$，
则有|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{10-\frac{（m-2）^{2}}{2}}$，
又由|OH|=$\frac{1}{2}$|MN|，
则有（$\frac{m+2}{2}$）²+（$\frac{m-2}{2}$）²=10-$\frac{（m-2）^{2}}{2}$，
解可得m=1±$\sqrt{7}$，
经检验，m=1±$\sqrt{7}$时，直线与圆相交，符合题意；
故直线MN的方程为：y=-x+1+$\sqrt{7}$或y=-x+1-$\sqrt{7}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆的方程的综合应用，关键是正确求出圆的方程．