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已知实数x,y满足数学公式,则数学公式的最小值为________.


分析:根据题意作出不等式组对应的平面区域,为图中阴影部分,设P(x,y)是区域内一个动点,得=KOP是原点与P点连线的斜率.运动P点并观察斜率的变化,可得得,从而得到当且仅当P与A重合时,的最小值为
解答:设直线l1:y=2,l2:x+y+4=0,l3:x-y-2=0
作出三条直线在坐标系内的图形如右图,设点A、B分别是
l1、l2的交点和l1、l3的交点
可得不等式组表示的平面区域是在l2和l3的上方,且在线段AB上方的阴影部分
设P(x,y)是区域内一个动点,由=KOP
是原点与P点连线的斜率,
将P点在区域内运动,可得当P在第一象限内运动时,KOP为正数,当P与B重合时,KOP达到最小值
当P在第二象限内运动时,KOP为负数,当P与A重合时,KOP达到最大值
∵l1、l2的交点A(-6,2),l1、l3的交点B(4,2)
∴OA的斜率K1==,OB的斜率K2==
由此可得,取绝对值,得,最小值为
当且仅当P与A重合时,的最小值为
故答案为:
点评:本题给出不等式组表示的平面区域,求区域内一点纵坐标与横坐标比值的绝对值最小值,考查了直线的斜率和二元一次不等式组表示平面区域等知识点,属于基础题.
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