Question

给出下列命题：
①函数y=

3-2x

x+1

的对称中心为（-1，-2）；
②函数y=2^1-x在定义域内递增；  
③函数y=log3(x+

1

x

-3)的值域为R；      
④函数f（x）满足f（x）f（x+2）=1，则f（2013）=f（1）；
⑤若x²-2mx+m²-1=0两根都大于-2，则m＞-1．
则上述命题正确的是

①③④⑤

．

Answer 1

分析：根据反比例函数的对称性及函数图象平移变换法则，可判断①的真假；
根据复合函数的单调性判定法则及指数函数和一次函数的单调性，可判断②的真假；
判断真数部分的取值范围是否包含区间（0，+∞），可判断③的真假；
由已知分析出函数的周期性，可判断④的真假；
解方程求出方程的两个根，结合x²-2mx+m²-1=0两根都大于-2，求出m的范围，可判断⑤的真假

解答：解：函数y=

3-2x

x+1

=

5

x+1

-2，其图象是由函数y=

5

x

的图象向左移动一个单位，再向下移动两个单位得到，故对称中心为（-1，-2），即①正确；
函数y=2^u在定义域内递增，但u=1-x在定义域内递减，根据复合函数同增异减的原则，可得函数y=2^1-x在定义域内递减，故②错误；
∵x+

1

x

-3∈（-∞，-5]∪[-1，+∞）?（0，+∞），故函数y=log3(x+

1

x

-3)的值域为R，即③正确；
函数f（x）满足f（x）f（x+2）=1，则函数的周期T=4，则f（2013）=f（1），故④正确；
若x²-2mx+m²-1=0两根都为m+1，m-1，若它们均大于-2，仅须m-1＞-2，则m＞-1，故⑤正确；
故答案为：①③④⑤

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的对称性，平移变换法则，复合函数的单调性，对数的值域，函数的周期性及方程的根，是函数的综合应用．