Question

（2012•泉州模拟）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

x=2+2cosθ y=2sinθ

（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin(θ+

π

4

)=0．
（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；
（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）曲线C可化为（x-2）²+y²=4，即x²-4x+y²=0，再根据极坐标和直角坐标方程的互化公式求得曲线C在极坐标系中的方程．
（Ⅱ）把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆的半径，求出弦长．

解答：解：（Ⅰ）曲线C可化为（x-2）²+y²=4，即x²-4x+y²=0，…（1分）
所以曲线C在极坐标系中的方程为ρ²-4ρcosθ=0，…（2分）
由于ρ=4cosθ包含ρ=0的情况，
∴曲线C在极坐标系中的方程为ρ=4cosθ．…（3分）
（Ⅱ）∵直线l的方程可化为x+y=0，…（4分）∴圆C的圆心C（2，0）到直线l的距离为d=

2

，…（5分）
又∵圆C的半径为r=2，
∴直线l被曲线C截得的弦长l=2

r2-d2

=2

2

．…（7分）

点评：本题主要考查曲线的参数方程与极坐标方程、直线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想、分类与整合思想，属于基础题．