Question

以下四个命题：
①平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线；
②抛物线y=ax²的焦点到原点的距离是

|a|

4

；
③直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=x₁+x₂+p；
④正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，则此正三角形的边长为4

3

p．其中正确命题的序号是

④

．

Answer 1

分析：对于①当定点F正好在定直线l上时，平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹不是抛物线；
②先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标．
③只有当直线l是过抛物线焦点的直线时，直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=x₁+x₂+p才成立；
④设另外两个顶点的坐标分别为 （

m2

2p

， m），（

m2

2p

， -m），由 tan30°=

m

m2 2p

，解得 m的值．

解答：解：①当定点F正好在定直线l上时，平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹不是抛物线；故错；
②当a＞0时，整理抛物线方程得x²=

1

a

y，p=

1

2a

∴焦点坐标为 (0，

1

4a

)，抛物线y=ax²的焦点到原点的距离是

1

4|a|

；故错；
③当直线l不是过抛物线焦点的直线时，直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=x₁+x₂+p不成立，故③错；
④设正三角形另外两个顶点的坐标分别为 （

m2

2p

， m），（

m2

2p

， -m），由 tan30°=

3

3

=

m

m2 2p

，
解得 m=2

3

p，故这个正三角形的边长为  2m=4

3

p，
故正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，则此正三角形的边长为4

3

p正确．
其中正确命题的序号是 ④．
故答案为：④．

点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义是解题的关键．④直角三角形中的边角关系，设出另外两个顶点的坐标，是解题的突破口．