Question

设函数f（x）=x³-6x+5，若关于x的方程f（x）=a有三个不同实根，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，可知函数图象的变化情况，可知方程f（x）=a有3个不同实根，求得实数a的值．

解答：解：f′(x)=3(x2-2)，令f′(x)=0，得x1=-

2

，x2=

2

∴当 x＜-

2

或x＞

2

时f′(x)＞0，当-

2

＜x＜

2

时，f′(x)＜0，
∴f（x）的单调递增区间是 (-∞，-

2

)和(

2

，+∞)，单调递减区间是 (-

2

，

2

)
当 x=-

2

，f(x)有极大值5+4

2

；当 x=

2

，f(x)有极小值5-4

2

由上分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，
∴当 5-4

2

＜a＜5+4

2

时，直线y=a与y=f(x)的图象有3个不同交点，
即方程f（x）=α有三解．
故答案为：（5-4

2

，5+4

2

）．

点评：考查利用导数研究函数的单调性和图象，体现了数形结合的思想方法．本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类讨论．属中档题．