Question

【题目】已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）．

（1）求函数f（x）的定义域并判断函数f（x）的奇偶性；

（2）记函数g（x）= +3x，求函数g（x）的值域；

（3）若不等式 f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）函数g（x）的值域是（﹣6， ]；（3）实数m的取值范围为{m|m＜lg4}.

【解析】试题分析：（1）利用对数函数的性质能求出函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）的定义域；推导出f（﹣x）=lg（2﹣x）+lg（2+x）=f（x），由此得到f（x）是偶函数． （2）由﹣2＜x＜2，得f（x）=lg（4﹣x2），从而函数g（x）=﹣x2+3x+4，由此能求出函数g（x）的值域．（3）由不等式f（x）＞m有解，得到m＜f（x）max，由此能求出实数m的取值范围．

试题解析：

（1）∵函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x），

∴，解得﹣2＜x＜2．

∴函数f（x）的定义域为（﹣2，2）．

∵f（﹣x）=lg（2﹣x）+lg（2+x）=f（x），

∴f（x）是偶函数．

（2）∵﹣2＜x＜2，

∴f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）=lg（4﹣x2）．

∵g（x）=10f（x）+3x，

∴函数g（x）=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣）2+，（﹣2＜x＜2），

∴g（x）max=g（）=，g（x）min→g（﹣2）=﹣6，

∴函数g（x）的值域是（﹣6，]．

（3）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max，

令t=4﹣x2，由于﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4

∴f（x）的最大值为lg4．

∴实数m的取值范围为{m|m＜lg4}．