Question

【题目】如图，已知四棱锥的侧棱PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD= CD=2，点M在侧棱上．
（1）求证：BC⊥平面BDP；
（2）若侧棱PC与底面ABCD所成角的正切值为 ，点M为侧棱PC的中点，求异面直线BM与PA所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由已知可算得 ，∴BD2+BC2=16=DC2，

故BD⊥BC，

又PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，故PD⊥BC，

又BD∩PD=D，所以BC⊥平面BDP

（2）解：如图，取PD中点为N，并连结AN，MN，BM∥AN，

则∠PAN即异面直线BM与PA所成角；

又PA⊥底面ABCD，∴∠PCD即为PC与底面ABCD所成角，

即 ，∴ ，即 ，

又 ， ，则在△PAN中， = ，

即异面直线BM与PA所成角的余弦值为

【解析】（1）证明BD⊥BC，PD⊥BC，即可证明BC⊥平面BDP；（2）取PD中点为N，并连结AN，MN，则∠PAN即异面直线BM与PA所成角，在△PAN中，利用余弦定理，即可求出异面直线BM与PA所成角的余弦值．
【考点精析】通过灵活运用异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的判定，掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题．