Question

将一个边长为1300的正方形四个角各减去一个正方形，然后折成一个长方体容器，那么这个容器的容积最大是多少？

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：导数的综合应用

分析：设小正方形的边长为x，则这个长方体容积V=x（1300-2x）²=4x³-5200x²+1690000x，0＜x＜650，V′=12x²-10400x+1690000，由此利用导数性质能求出这个容器的容积最大值．

解答： 解：设小正方形的边长为x，
则这个长方体容积V=x（1300-2x）²=4x³-5200x²+1690000x，0＜x＜650，
V′=12x²-10400x+1690000，
由V′=0，得x=650（舍），或x=

650

3

，
当x∈（0，

650

3

）时，V′＞0；当x∈（

650

3

，650）时，V′＜0．
∴当x=

650

3

时，这个容器的容积最大，
最大容积V_max=

650

3

+(1300-

1300

3

)2=

6761950

9

．

点评：本题考查容器的容积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．