Question

【题目】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4 ，求实数a的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为 （φ为参数），

消去参数得曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2=4．

∵曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，

∴ρ2=4ρsinθ，

∴C2的直角坐标方程为x2+y2=4y，整理，得x2+（y﹣2）2=4．

（Ⅱ）曲线C1：（x﹣2）2+y2=4化为极坐标方程为ρ=4cosθ，

设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），

∵曲线C3的极坐标方程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，

点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4 ，

∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=|4sinα﹣4cosα|=4 |sin（ ）|=4 ，

∴sin（ ）=±1，

∵0＜α＜π，∴ ，

∴ ，解得

【解析】（Ⅰ）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2=4ρsinθ，由此能求出C2的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C1化为极坐标方程为ρ=4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从而得到|AB|=|ρ1﹣ρ2|=|4sinα﹣4cosα|=4 |sin（ ）|=4 ，进而sin（ ）=±1，由此能求出结果．