Question

在平面直角坐标系x Oy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，直线l：x-my-1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于 A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点D（

5

2

，0），连结 BD，过点 A作垂直于y轴的直线l₁，设直线l₁与直线 BD交于点 P，试证明：点 P的横坐标为4．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题设可得

c=1 c a = 1 2

，解得c，a的值，可得b²，即可求得椭圆C的标准方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于PA垂直于y轴，所以点P的纵坐标为y1，从而只要证明P（4，y₁）在直线BD上．由

x-my-1=0 x2 4 + y2 3 =1

，可得（4+3m²）y²+6my-9=0，由△=144（1+m²）＞0，可解得k_DB-k_DP=0，即可证明点P（4，y₁）恒在直线BD上，从而求得点P的横坐标为4．

解答： 解：（1）由题设，可得

c=1 c a = 1 2

，解得

c=1 a=2

从而b²=a²-c²=3，所以椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于PA垂直于y轴，所以点P的纵坐标为y1，从而只要证明P（4，y₁）在直线BD上．
由

x-my-1=0 x2 4 + y2 3 =1

，可得（4+3m²）y²+6my-9=0
∵△=144（1+m²）＞0，
∴y₁+y₂=

-6m

4+3m2

，y₁y₂=

-9

4+3m2

①
∵k_DB-k_DP=

y2-0

x2- 5 2

-

y1-0

4- 5 2

=

y2

my2+1- 5 2

-

y1

3 2

=

3 2 y2-y1(my2- 3 2 )

3 2 (my2- 3 2 )

=

y1+y2- 2 3 my1y2

my2- 3 2

①式代入上式，可得k_DB-k_DP=0，
所以点P（4，y₁）恒在直线BD上，
所以点P的横坐标为4

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．