Question

4．已知关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0，满足a≥0且b≥0．
（1）若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（2）若a=1，b是从区间[0，3]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

分析 （1）是古典概型，可以列举出所有的满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果．
（2）是几何概型，求出方程有实根的等价条件，利用几何概型的概率公式进行求解．

解答 解：（1）设若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，
则有3×2=6种结果，
事件A为“方程a²+2ax+b²=0有实根”．
若方程x²+2ax+b²=0有实根，
则判别式△=4a²-4b²≥0，
即a²-b²≥0，
∵a≥0且b≥0．
∴等价为a≥b．
包含基本事件共5个：
（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
∴事件A发生的概率为P=$\frac{5}{6}$．
（2）若a=1，则方程x²+2ax+b²=0有实根，
则判别式△=4-4b²≥0，即b²≤1，解得-1≤b≤1，
∵0≤b≤3，
∴0≤b≤1，
则对应的概率P=$\frac{1-0}{3-0}=\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查概率的计算，要求熟练古典概型和几何概型的概率的计算，考查学生的运算和推理能力．