Question

已知向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

1

2

x，sin

1

2

x)，x∈[0，π]．
（1）当x=

π

4

时，求

a

•

b

及|

a

+

b

|的值；
（2）求f(x)=m|

a

+

b

|-

a

•

b

（m∈R）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出

a

•

b

及|

a

+

b

|的三角表达式，利用三角恒等变换公式化简后再代入x=

π

4

求得两向量的内积与两向量和的模的值；
（2）由题设条件f(x)=m|

a

+

b

|-

a

•

b

=-2cos2

x

2

+2mcos

x

2

-1，此式是关于cos

x

2

的二次函数，故可令t=cos

x

2

（0≤t≤1），换元，再由二次函数的知识求最值

解答：解：（1）∵

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

1

2

x，sin

1

2

x)
∴

a

•

b

=cos

3

2

xcos

1

2

x+sin

3

2

xsin

1

2

x=cos(

3

2

x-

1

2

x)=cosx
∴x=

π

4

时，

a

•

b

=

2

2

，
又|

a

+

b

|2=

a

2+

b

2+2

a

•

b

=2+2cosx
∴x=

π

4

时，|

a

+

b

|=

2+ 2

（2）∵x∈[0，π]，∴0≤cos

x

2

≤1
∴f(x)=m|

a

+

b

|-

a

•

b

=2m|cos

x

2

|-cosx=-2cos2

x

2

+2mcos

x

2

-1
令t=cos

x

2

（0≤t≤1）则f（x）=-2t²+2mt-1=-2(t-

m

2

)2+

m2

2

-1
∴当

m

2

＞1即m＞2时，此时t=1，f（x）_max=2m-3
当0≤

m

2

≤1即0≤m≤2时，此时t=

m

2

，f(x)max=

m2

2

-1
当

m

2

＜0即m＜0时，此时t=0，f（x）_max=-1
∴f(x)max=

2m-3(m＞2) m2 2 -1(0≤m≤2) -1(m＜0)

点评：本题考查平面向量数量积的运算，解题的关键是熟练掌握数量积的运算公式，以及三角恒等变换公式，本题是一个三角与向量结合的综合题，其解题的特点是变形灵活，考查灵活变形进行计算的能力