【题目】已知函数f(x)=a|x+b|(a>0,a≠1,b∈R).
(1)若f(x)为偶函数,求b的值;
(2)若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试求a、b应满足的条件.
【答案】解:(1)因为f(x)为偶函数,∴对任意的x∈R,都有f(﹣x)=f(x),
即a|x+b|=a|﹣x+b| , 所以|x+b|=|﹣x+b|
得 b=0.
(2)记h(x)=|x+b|=,
①当a>1时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,+∞)上是增函数,
∴﹣b≤2,b≥﹣2
②当0<a<1时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,+∞)上是减函数
但h(x)在区间[﹣b,+∞)上是增函数,故不可能
∴f(x)在区间[2,+∞)上是增函数时,a、b应满足的条件为a>1且b≥﹣2
【解析】(1)因为f(x)为偶函数,得到对任意的x∈R,都有f(﹣x)=f(x),求出b;
(2)记h(x)=|x+b|= , 讨论a值得到b的范围.
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和函数的奇偶性的相关知识点,需要掌握单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较;偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称才能正确解答此题.
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【题目】设函数f(x)=kx2+2x(k为实常数)为奇函数,函数g(x)=af(x)﹣1(a>0且a≠1).
(Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)求g(x)在[﹣1,2]上的最大值;
(Ⅲ)当a=时,g(x)≤t2﹣2mt+1对所有的x∈[﹣1,1]及m∈[﹣1,1]恒成立,求实数t的取值范围.
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【题目】为迎接2017年“双”,“双
”购物狂欢节的来临,某青花瓷生产厂家计划每天生产汤碗、花瓶、茶杯这三种瓷器共
个,生产一个汤碗需
分钟,生产一个花瓶需
分钟,生产一个茶杯需
分钟,已知总生产时间不超过
小时.若生产一个汤碗可获利润
元,生产一个花瓶可获利润
元,生产一个茶杯可获利润
元.
(1)使用每天生产的汤碗个数与花瓶个数
表示每天的利润
(元);
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?
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【题目】下列五个命题中:
①函数y=loga(2x﹣1)+2015(a>0且a≠1)的图象过定点(1,2015);
②若定义域为R函数f(x)满足:对任意互不相等的x1、x2都有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0,则f(x)是减函数;
③f(x+1)=x2﹣1,则f(x)=x2﹣2x;
④若函数f(x)=是奇函数,则实数a=﹣1;
⑤若a=(c>0,c≠1),则实数a=3.
其中正确的命题是 .(填上相应的序号).
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【题目】据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).
(1)当t=4时,求s的值;
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.
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【题目】选修44:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,已知直线l1:
(
,
),抛物线C:
(t为参数).以原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线l1 和抛物线C的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线l1 和抛物线C相交于点A(异于原点O),过原点作与l1垂直的直线l2,l2和抛物线C相交于点B(异于原点O),求△OAB的面积的最小值.
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