Question

11．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，若不等式（-1）ⁿλ＜$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$，对?n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 运用a₁=S₁，n＞1时，s_n-s_n-1=a_n，用作差法得到a_n，a_n-1的关系，再由等差数列的定义和通项公式可得，a_n=（n+1）•2ⁿ，再求得S_n=n•2ⁿ⁺¹，再对n讨论为偶数和奇数，运用数列的单调性，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：当n=1时，S₁=2a₁-2²得a₁=4．
S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ，
两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ即a_n=2a_n-1+2ⁿ，
所以$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1
又$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=2，
所以数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以2为首项，1为公差的等差数列．
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+n-1，即a_n=（n+1）•2ⁿ，
S_n=2（n+1）•2ⁿ-2ⁿ⁺¹=n•2ⁿ⁺¹，
即有$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\frac{n•{2}^{n+1}}{（n+1）•{2}^{n+2}}$=$\frac{n}{2（n+1）}$，
当n为偶数时，（-1）ⁿλ＜$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$，即为λ＜$\frac{n}{2（n+1）}$的最小值，
由$\frac{n}{2（n+1）}$=$\frac{1}{2（1+\frac{1}{n}）}$递增，可得n=2时，取得最小值$\frac{1}{3}$，
则λ＜$\frac{1}{3}$；
当n为奇数时，即有-λ＜$\frac{n}{2（n+1）}$的最小值，
由n=1时，取得最小值，且为$\frac{1}{4}$，
解得λ＞-$\frac{1}{4}$，
综上可得，λ的范围是（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）．
故答案为：（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查了通项公式与前n项和公式的关系，等差数列的定义的应用．恒成立问题主要利用分离参数法转化为求最值问题解决．