Question

2．已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，设$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$．
（1）证明：A、B、C三点共线的条件是λ+μ=1
（2）若$\overrightarrow{OA}=（3x+1）•\overrightarrow{OB}+（\frac{3}{2+3x}-y）•\overrightarrow{OC}$成立．记y=f（x），求函数y=f（x）的解析式；
（3）在（2）的条件下，若对任意x∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$]，不等式|a-lnx|-ln[f（x）-3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）A，B，C三点共线时便有$\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$，从而可以得到$\overrightarrow{OC}=（1-k）\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}$，这样即可得出λ+μ=1；
（2）根据（1）便有$3x+1+\frac{3}{2+3x}-y=1$，从而可以解出y，这样即可得出y=f（x）的解析式为f（x）=$3x+\frac{3}{2+3x}$；
（3）根据条件可以得到$a＜lnx-ln\frac{3}{2+3x}$或$a＞lnx+ln\frac{3}{2+3x}$在x$∈[\frac{1}{6}，\frac{1}{3}]$上恒成立，可设g（x）=$ln\frac{3{x}^{2}+2x}{3}，h（x）=ln\frac{3x}{2+3x}$，可以判断g（x），h（x）在$[\frac{1}{6}，\frac{1}{3}]$上都是增函数，从而得出$a＜g（\frac{1}{6}），或a＞h（\frac{1}{3}）$，这样便可得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）证明：若A，B，C三点共线，则：
$\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=k（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$；
∴$\overrightarrow{OC}=（1-k）\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}$；
又$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$；
∴λ+μ=1-k+k=1；
即λ+μ=1；
（2）∵A，B，C三点共线；
由（1）知，若$\overrightarrow{OA}=λ\overrightarrow{OB}+μ\overrightarrow{OC}$，则λ+μ=1；
∴由$\overrightarrow{OA}=（3x+1）•\overrightarrow{OB}+（\frac{3}{2+3x}-y）•\overrightarrow{OC}$得：
$3x+1+\frac{3}{2+3x}-y=1$；
∴$y=3x+\frac{3}{2+3x}$；
即$f（x）=3x+\frac{3}{2+3x}$；
（3）原不等式为$|a-lnx|-ln（\frac{3}{2+3x}）＞0$；
∴$a＜lnx-ln\frac{3}{2+3x}$，或$a＞lnx+ln\frac{3}{2+3x}$；
设$g（x）=lnx-ln\frac{3}{2+3x}=ln\frac{3{x}^{2}+2x}{3}$，$h（x）=lnx+ln\frac{3}{2+3x}=ln\frac{3x}{2+3x}$；
依题意知a＜g（x）或a＞h（x）在$x∈[\frac{1}{6}，\frac{1}{3}]$上恒成立；
g（x）与h（x）在$[\frac{1}{6}，\frac{1}{3}]$上都是增函数；
∴$g（\frac{1}{6}）=ln\frac{5}{36}$为g（x）在$[\frac{1}{6}，\frac{1}{3}]$上的最小值，$h（\frac{1}{3}）=ln\frac{1}{3}$为h（x）的最大值；
∴$a＜ln\frac{5}{36}$，或$a＞ln\frac{1}{3}$；
∴实数a的取值范围为（$-∞，ln\frac{5}{36}$）∪（$ln\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 考查共线向量基本定理，平面向量基本定理，绝对值不等式的解法，以及对数的运算，复合函数单调性的判断，根据单调性求函数在闭区间上的最值．