Question

已知向量

a

=(2cos2x，1)，

b

=(1，

3

sin2x+m2)，f(x)=

a

•

b

（1）求函数y=f（x）单调减区间；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2m²-2m＞f（x）恒成立，求m取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式、二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用正弦函数的性质，可得函数y=f（x）单调减区间；
（2）确定f（x）的最大值，从而可得不等式2m²-2m＞3+m²，即可求m取值范围．

解答：解：（1）∵

a

=(2cos2x，1)，

b

=(1，

3

sin2x+m2)
∴f(x)=

a

•

b

=2cos2x+

3

sin2x+m2=cos2x+1+

3

sin2x+m2=2sin(2x+

π

6

)+m2+1…（3分）
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

2π

3

（k∈Z）
得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z）
所以y=f（x）的单调减区间为：[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）…（5分）
（2）0≤x≤

π

2

时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

所以f(x)max=2+m2+1=m2+3…（7分）
若2m²-2m＞f（x）恒成立，则2m²-2m＞3+m²
解得：m＞3或m＜-1…（10分）

点评：本题考查向量知识，考查三角函数的化简，考查恒成立问题，正确化简函数是关键．