Question

2．已知平面上动点M到直线y=-2的距离比它到点F（0，1）的距离多1．
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设动点M形成的曲线为E，过点P（0，-1）的直线l交曲线E于A，B两点，若直线OA和直线OB的斜率之和为2（其中O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由动点M到直线y=-2的距离比它到点F（0，1）的距离多1，可得动点到点F的距离与它到直线y=-1的距离相等，由抛物线的定义可知动点的轨迹是以F为焦点，以y=-1为准线的抛物线，即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）由题意可得设直线l的方程为y=kx-1，联立直线与抛物线的方程可得：x²-4kx+4=0，根据韦达定理可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由动点M到直线y=-2的距离比它到点F（0，1）的距离多1，
可得动点到点F的距离与它到直线y=-1的距离相等，
由抛物线的定义可知动点的轨迹是以F为焦点，以y=-1为准线的抛物线
所以方程为x²=4y．…（4分）
（Ⅱ）显然，直线l垂直于x轴不合题意，故可设所求的直线方程为y=kx-1，
代入抛物线方程化简，得：x²-4kx+4=0，…（6分）
其中△=4k²+8＞0，x₁+x₂=-4k，x₁x₂=4…（8分）
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=2，①
因为y₁=kx₁-1，y₂=kx₂-1，代入①，整理可得k=2，…（11分）
所以直线l的方程为y=2x-1．…（12分）

点评 本题主要考查抛物线的简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于中档题．