Question

已知：数列{a_n}的通项公式为a_n=3^n-1（n∈N^*），等差数列{b_n}中，b_n＞0且b₁+b₂+b₃=15又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比．求：
（1）数列{b_n}的通项公式．
（2）设数列c_n=

1

bn2-1

（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）可得b₂=5，设等差数列{b_n}的公差为d，可得（3+5）²=（1+5-d）（9+5+d），解之可得d，可得通项公式；
（2）可得c_n=

1

bn2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），由裂项相消法即可求和．

解答：解：（1）由题意可得b₁+b₂+b₃=3b₂=15，即b₂=5，
又由题意可得（a₂+b₂）²=（a₁+b₁）（a₃+b₃），
设等差数列{b_n}的公差为d，
代入数据可得（3+5）²=（1+5-d）（9+5+d），
解之可得d=-10，或d=2，当d=-10不满足b_n＞0应舍去，
故d=2，b_n=5+2（n-2）=2n+1；
（2）可得c_n=

1

bn2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
故数列{c_n}的前n项和为：

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4(n+1)

点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，涉及裂项相消法求和，属中档题．