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5.判断下列方程在区间($\frac{1}{2}$,8)上是否存在实数解,并说明理由.
(1)$\frac{2}{x}$+2x=0;
(2)log2x+3x-2=0.

分析 (1)转化为一元二次方程进行求解判断.
(2)构造函数,利用函数零点的判断条件进行判断即可.

解答 解:(1)方程$\frac{2}{x}$+2x=0等价为2+2x2=0,即x2=-1,此时方程无解,故在区间($\frac{1}{2}$,8)上是不存在实数解.
(2)设f(x)=log2x+3x-2,则函数在($\frac{1}{2}$,8)上为增函数,
则f($\frac{1}{2}$)=log2$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{2}$-2=-1+$\frac{3}{2}$-2=-$\frac{3}{2}$<0,
f(8)=log28+3×8-2=3+24-2=25>0,
则函数在($\frac{1}{2}$,8)上存在唯一的一个零点,即方程在($\frac{1}{2}$,8)上存在实数解.

点评 本题主要考查函数与方程的应用,利条件转化为函数,结合函数零点的判断条件是解决本题的关键.

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