Question

给出下列四个命题：
①当x＞0且x≠1时，有lnx+

1

lnx

≥2；
②函数f(x)=lg(ax+1)的定义域是{x|x＞-

1

a

}；
③函数f（x）=e^-xx²在x=2处取得极大值；
④=圆x²+y²-10x+4y-5=0上任意一点M关于直线ax-y-5a-2=0的对称点M′也在该圆上．
所有正确命题的序号是

 

Answer 1

分析：①中因为x＞0且x≠1得到lnx有意义，但不一定大于0，只有当x＞1时，lnx＞0．才有a+b≥2

ab

当且仅当a=b时取等号的方法求最值．故答案错误；②要求对数函数的定义域即ax+1＞0，即ax＞-1，讨论a＞0时和a＜0时两种情况求出解集，故答案错误；③要求函数的极值需求出f′（x）=0时的驻点得到x=0舍去，所以x=2时取极值．答案对；④要说明圆上任一点M关于直线的对称点M′也在圆上，即直线过圆心，把（5，-2）代入方程左边得0即（5，-2）在直线上．故答案对．

解答：解：①根据x＞0且x≠1得到lnx有意义，但不一定大于0，只有当x＞1时，lnx＞0，故不能用基本不等式求最大值，所以答案错误；
②根据求对数函数定义域的方法得ax+1＞0，分a＞0时和a＜0时两种情况求出解集分别为x＞-

1

a

或x＜-

1

a

，故答案错误；
③求出f′（x）=x（2e^-x-xe^-x）=0解得x=0或x=2，因为x≠0，所以x＜2时，f′（x）＞0，函数为增函数；x＞2时，f′（x）＜0，函数为减函数．故x=2时函数取最大值，答案正确；
④要证明圆上任一点M关于直线对称点M′也在圆上即要证直线过圆心，找出圆心坐标为（5，-2）代入方程左边得0和右边相等．故答案正确．
故答案为；③④

点评：考查学生掌握对数函数定义域的求法，利用导数求闭区间上函数最值的能力，以及运用关于点、直线对称的圆方程的能力．