Question

【题目】如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（1）求证：D1C⊥AC1；
（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，

连接C1D，∵DC=DD1，

∴四边形DCC1D1是正方形．∴DC1⊥D1C．

又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC⊥DD1=D，

∴AD⊥平面DCC1D1，D1C平面DCC1D1，

∴AD⊥D1C．∵AD，DC1平面ADC1，

且AD⊥DC=D，∴D1C⊥平面ADC1，

又AC1平面ADC1，∴D1C⊥AC1

（2）解：连接AD1，连接AE，

设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连接MN，∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，

要使D1E∥平面A1BD，

须使MN∥D1E，

又M是AD1的中点．∴N是AE的中点．

又易知△ABN≌△EDN，∴AB=DE．

即E是DC的中点．

综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD．

【解析】（1）要证D1C⊥AC1；需证D1C⊥平面ADC1即可（2）确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连接MN，证明MN∥D1E即可．
【考点精析】利用空间中直线与平面之间的位置关系和直线与平面平行的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直线在平面内—有无数个公共点；直线与平面相交—有且只有一个公共点；直线在平面平行—没有公共点；一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;简记为：线面平行则线线平行．