【题目】已知直线:,半径为2的圆与相切,圆心在轴上且在直线的右上方.
(1)求圆的方程;
(2)过点的直线与圆交于,两点(在轴上方),问在轴正半轴上是否存在定点,使得轴平分?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,
【解析】
(1)设出圆心坐标,根据直线与圆相切,得到圆心到直线的距离,确定出圆心坐标,即可得出圆方程;
(2)当直线轴,则轴平分,当直线斜率存在时,设直线方程为,联立圆与直线方程,消去得到关于的一元二次方程,利用韦达定理表示出两根之和与两根之积,由若轴平分,则,求出的值,确定出此时坐标即可.
(1)设圆心,
∵直线:,半径为2的圆与相切,
∴,即,
解得:或(舍去),
则圆方程为;
(2)当直线轴,则轴必平分,
此时可以为轴上任一点,
当直线与轴不垂直时,
设直线的方程为,,,,
由得,经检验,
∴,,
若轴平分,设为,
则,即,
整理得:,即,
解得:,
综上,当点,使得轴平分.
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【题目】为创建全国文明城市,我市积极打造“绿城”的创建目标,使城市环境绿韵萦绕,使市民生活绿意盎然.有效增加城区绿化面积,提高城区绿化覆盖率,提升城市形象品位.林业部门推广种植甲、乙两种树苗,并对甲、乙两种树苗各抽测了10株树苗的高度(单位:厘米),数据如下面的茎叶图:
(1)根据茎叶图求甲、乙两种树苗的平均高度;
(2)根据茎叶图,计算甲、乙两种树苗的高度的方差,运用统计学知识分析比较甲、乙两种树苗高度整齐情况.
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【题目】这次新冠肺炎疫情,是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难,但从来没有被压垮过,而是愈挫愈勇,不断在磨难中成长,从磨难中奋起.在这次疫情中,全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智.某校高三学生也展开了对这次疫情的研究,一名同学在数据统计中发现,从2020年2月1日至2月7日期间,日期和全国累计报告确诊病例数量(单位:万人)之间的关系如下表:
日期 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
全国累计报告确诊病例数量(万人) | 1.4 | 1.7 | 2.0 | 2.4 | 2.8 | 3.1 | 3.5 |
(1)根据表中的数据,运用相关系数进行分析说明,是否可以用线性回归模型拟合与的关系?
(2)求出关于的线性回归方程(系数精确到0.01).并预测2月10日全国累计报告确诊病例数.
参考数据:,,,.
参考公式:相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,.
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【题目】如图,四棱柱的底面为菱形, , , 为中点.
(1)求证: 平面;
(2)若底面,且直线与平面所成线面角的正弦值为,求的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)2.
【解析】试题分析:(1)设为的中点,根据平几知识可得四边形是平行四边形,即得,再根据线面平行判定定理得结论,(2)根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解得平面一个法向量,根据向量数量积求向量夹角,再根据线面角与向量夹角互余关系列等式,解得的长.
试题解析:(1)证明:设为的中点,连
因为,又,所以 ,
所以四边形是平行四边形,
所以
又平面, 平面,
所以平面.
(2)因为是菱形,且,
所以是等边三角形
取中点,则,
因为平面,
所以,
建立如图的空间直角坐标系,令,
则, , , ,
, , ,
设平面的一个法向量为,
则且,
取,设直线与平面所成角为,
则,
解得,故线段的长为2.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】椭圆:的左、右焦点分别为、,若椭圆过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若为椭圆的左、右顶点, ()为椭圆上一动点,设直线分别交直线: 于点,判断线段为直径的圆是否经过定点,若是,求出该定点坐标;若不恒过定点,说明理由.
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【题目】已知椭圆: 的一个焦点为,点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程与离心率;
(Ⅱ)设椭圆上不与点重合的两点, 关于原点对称,直线, 分别交轴于, 两点.求证:以为直径的圆被轴截得的弦长是定值.
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【题目】四棱锥的底面为直角梯形,,,,为正三角形.
(1)点为棱上一点,若平面,,求实数的值;
(2)求点B到平面SAD的距离.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)由平面,可证,进而证得四边形为平行四边形,根据,可得;
(2)利用等体积法可求点到平面的距离.
试题解析:((1)因为平面SDM,
平面ABCD,
平面SDM 平面ABCD=DM,
所以,
因为,所以四边形BCDM为平行四边形,又,所以M为AB的中点.
因为,
.
(2)因为 , ,
所以平面,
又因为平面,
所以平面平面,
平面平面,
在平面内过点作直线于点,则平面,
在和中,
因为,所以,
又由题知,
所以,
由已知求得,所以,
连接BD,则,
又求得的面积为,
所以由点B 到平面的距离为.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前55单没有奖励,超过55单的部分每单奖励12元.
(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪(单位:元)与送货单数的函数关系式;
(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数满足以下条件:在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图,其中当某天的派送量指标在 时,日平均派送量为单.
若将频率视为概率,回答下列问题:
①根据以上数据,设每名派送员的日薪为(单位:元),试分别求出甲、乙两种方案的日薪的分布列,数学期望及方差;
②结合①中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适,并说明你的理由.
(参考数据: , , , , , , , , )
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