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5.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,E,F分别是CC1,BC的中点.
(Ⅰ)求证:B1F⊥平面AEF;
(Ⅱ)求锐二面角B1-AE-F的余弦值.

分析 (1)证明AF⊥B1F,B1F⊥EF,然后证明B1F⊥平面AEF;
(2)过F作FM⊥AE,连结B1M,说明∠B1MF就是二面角B1-AE-F的平面角,然后通过解三角形求出所求角的大小.

解答 (1)证明:由条件知AF⊥平面CCBB1
令AC=1∴AF⊥B1F,
经计算得${B_1}F=\frac{{\sqrt{6}}}{2},EF=\frac{{\sqrt{3}}}{2},{B_1}E=\frac{3}{2}$,
∴${B_1}{E^2}={B_1}{F^2}+E{F^2}$,即B1F⊥EF,又因为EF∩AF=F,
∴B1F⊥平面AEF;
(2)过F作FM⊥AE,连结B1M,
由已知得EA⊥MF,EA⊥B1F,
∴EA⊥平面B1MF
∴EA⊥B1M,
∴∠B1MF就是二面角B1-AE-F的平面角
经计算得$MF=\frac{{\sqrt{30}}}{10},{B_1}M=\frac{3}{5}\sqrt{5}$,
$cos∠{B_1}MF=\frac{MF}{{{B_1}M}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$.

点评 本题考查直线与平面所成角的大小的求法,考查直线与平面垂直的判定定理的应用,考查计算能力.

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(Ⅰ)若∠AOB为钝角(O为原点),试确定直线l的斜率的取值范围;
(Ⅱ)设点A关于长轴的对称点为A1,F为椭圆的右焦点,试判断A1和F,B三点是否共线,并说明理由.

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16.把-块边长为10cm正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥(底面是正方形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心的四棱锥)形容器,
(1)试建立容器的容积V与所截等腰三角形的底边边长为x的函数关系式,并求出函数的定义域.
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13.如图,这是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体,平面ABC与半圆柱的下底面共面,且AC⊥BC,P为$\widehat{{A}_{1}{B}_{1}}$上的动点.
(1)证明:PA1⊥平面PBB1
(2)设半圆柱和多面体ABB1A1C的体积分别为V1,V2,且AC=BC,求V1:V2

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20.自⊙O外一点p引切线与⊙O切于点A,M为PA的中点,过M引割线交⊙O于B、C两点.
求证:
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(Ⅱ)∠MCP=∠MPB.

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10.如图,在正三棱锥A-BCD中,E,F分别是AB,BC的中点,EF⊥DE且BC=2,则正三棱锥A-BCD的体积是$\frac{\sqrt{2}}{3}$.

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17.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,侧棱C1C⊥平面ABC,AC=BC=CC1=2,B1C与BC1相交于点O,连结AB1,AC1
(1)求证:平面ABC1⊥平面B1AC.
(2)求四面体B1-ABC1的体积;
(3)求二面角B1-AB-C1的余弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:填空题

14.设偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x)=-$\frac{1}{f(x-3)}$,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(119.5)=$\frac{1}{10}$.

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15.已知向量$\overrightarrow{a}$=(cos θ,sin θ),向量$\overrightarrow{b}$=($\sqrt{3}$,-1),则|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最大值与最小值的和为4+$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$.

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