Question

【题目】已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log3x，
（1）求f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）≤2．

Answer 1

【答案】
（1）解：易知f（0）=0；

当x＜0时，则﹣x＞0，所以f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log3（﹣x）；

所以f（x）=

（2）解：由题意：当x＞0时有log3x≤2，解得0＜x≤9；

当x=0时，f（0）=0显然满足题意；

当x＜0时有﹣log3（﹣x）≤2，即log3（﹣x）≥﹣2，解得 ．

综上可得原不等式的解集为[0，9]

【解析】（1）根据函数为奇函数，可设x＜0，则﹣x＞0，然后将﹣x代入x＞0时的解析式化简即可；（2）按照分段函数分段处理的原则列出不等式，分别解之，最终取并集即可．
【考点精析】掌握函数奇偶性的性质是解答本题的根本，需要知道在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．