在平面直角坐标系中.设点P(x.y).定义[OP]=|x|+|y|.其中O为坐标原点．对于下列结论:①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2,②设点P是直线:5x+2y-2=0上任意一点.则[OP]min=23,③设点P是直线:y=kx+1上任意一点.若使得[OP]最小的点P有无数个.则k的值是k=±1,④设点P是圆x2+y2=1上任意一点.则[OP]max=2．其中正确的结论序号为①③� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

在平面直角坐标系中，设点P（x，y），定义[OP]=|x|+|y|，其中O为坐标原点．对于下列结论：
①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；
②设点P是直线：

x+2y-2=0上任意一点，则[OP]min=

；
③设点P是直线：y=kx+1（k∈R）上任意一点，若使得[OP]最小的点P有无数个，则k的值是k=±1；
④设点P是圆x²+y²=1上任意一点，则[OP]max=

．
其中正确的结论序号为

①③④

．

分析：①根据新定义由[OP]=|x|+|y|=1，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，由图象可知点P的轨迹围成的图形为边长是

的正方形，求出正方形的面积即可；
②举一个反例，令y=0，求出相应的x，根据新定义求出[OP]=|x|+|y|，即可得到[OP]的最小值为1是假命题；
③根据|x|+|y|大于等于|x+y|或|x-y|，把y=kx+b代入即可得到，当[OP]最小的点P有无数个时，k等于1或-1；而k等于1或-1推不出[OP]最小的点P有无数个，所以得到k=±1是“使[OP]最小的点P有无数个”的必要不充分条件．

解答：

解：∵[OP]=|x|+|y|，
∴当[OP]=1，点P的轨迹如图所示：其面积为2，故①正确；
若点P是直线：

x+2y-2=0上任意一点，②当P（

，0）时，[OP]=|x|+|y|=

＜1，所以[OP]的最小值不为1，故②错误；
③因为|x|+|y|≥|x+y|=|（k+1）x+b|，当k=-1时，|x|+|y|≥|b|，满足题意；
而|x|+|y|≥|x-y|=|（k-1）x-b|，当k=1时，|x|+|y|≥|b|，满足题意，故③正确；
④设点P是圆x²+y²=1上任意一点，可设x=sinx，y=cosx，则[OP]=|sinx|+|cosx|∈[1，

]，故④正确
故答案为：①③④

点评：此题考查学生理解及运用新定义的能力，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．

练习册系列答案

高考调研衡水重点中学同步精讲精练系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：pcos(θ-

)=1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点，则MN的中点P在平面直角坐标系中的坐标为

．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

在平面直角坐标系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(

，

3π

)，且|

|=|

|．
（1）求角θ的值；
（2）设α＞0，0＜β＜

，且α+β=

θ，求y=2-sin²α-cos²β的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是

（写出所有正确命题的编号）．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点
④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

在平面直角坐标系中，下列函数图象关于原点对称的是（　　）

A．y=x³

B．y=3^x

C．y=log₃x

D．y=cosx

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

在平面直角坐标系中，以点（1，0）为圆心，r为半径作圆，依次与抛物线y²=x交于A、B、C、D四点，若AC与BD的交点F恰好为抛物线的焦点，则r=

．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学