Question

2．（1）已知sinx+cosx=-$\frac{1}{5}$（0＜x＜π），求tanx的值；
（2）已知cos（75°+α）=$\frac{1}{3}$，其中-180°＜α＜-90°，求sin（105°-α）+cos（375°-α）的值．

Answer 1

分析 （1）已知两边平方得1+2sinxcosx=$\frac{1}{25}$结合角的范围可得$sinx-cosx=\frac{7}{5}$，与$sinx+cosx=-\frac{1}{5}$联立，再由同角三角函数基本关系可得；
（2）化简可得原式=2sin（75°+α），由已知条件可求cos（75°+α）的值，可得答案．

解答 解：（1）∵$sinx+cosx=-\frac{1}{5}（0＜x＜π）$，
∴可得sinx＞0且cosx＜0，
两边平方得1+2sinxcosx=$\frac{1}{25}$，即$2sinxcosx=-\frac{24}{25}$
∴${（sinx-cosx）^2}=1-2sinxcosx=\frac{49}{25}$，
∵sinx-cosx＞0，∴$sinx-cosx=\frac{7}{5}$，
与$sinx+cosx=-\frac{1}{5}$联立可解得$sinx=\frac{3}{5}，cosx=-\frac{4}{5}$
∴$tanx=\frac{sinx}{cosx}=-\frac{3}{4}$；
（2）原式=sin（75°+α）+cos（15°-α）=2sin（75°+α），
∵$cos（75°+α）=\frac{1}{3}$，且-105°＜75°+α＜-15°，
∴sin（75°+α）＜0，
∴$sin（75°+α）=-\sqrt{1-sin（75°+α）}=-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
∴原式=$-\frac{4}{3}\sqrt{2}$

点评 本题考查三角函数公式的灵活应用，注意角的范围是解决问题的关键，属中档题．